Question

如圖，已知直線AC：y=-

3

3

x+

2

3

3

交兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)A、C，△OAB是等腰直角三角形，∠B=90°，拋物y=mx²+3x過點(diǎn)B，將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線AC上的點(diǎn)B′處．
（1）求m的值；
（2）點(diǎn)B′的坐標(biāo)，并說明點(diǎn)B′是否在拋物線上；
（3）求線段BB′的長．

Answer 1

分析：（1）要求m的值，先要求出B的坐標(biāo)，即先要求出OA的長，已知了直線AC的解析式，那么不難得出A的坐標(biāo)應(yīng)該是（2，0），OA=2，那么B的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，1）．將B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式中即可得出m的值．
（2）可過B′作B′D⊥OA于D，那么B′O=OB=

2

，B′D的長就是B′的縱坐標(biāo)，OD的長就是B′的橫坐標(biāo)，由于B′D是直角三角形OB′D和AB′D的公共直角邊，可圍繞這條直角邊，分別在兩個(gè)三角形中用OD表示出B′D的長，進(jìn)而可求出OD和B′D的長，也就得出了B′的坐標(biāo)，然后將B′的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式中判定B′是否在拋物線上．
（3）已知了B、B′的坐標(biāo)可根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的公式進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）由于A是直線AC與x軸的交點(diǎn)，則A點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)是（2，0）．
由于△OBA是等腰直角三角形，
因此BD點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，1），
將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=mx²+3x中，
則m+3=1，即m=-2，

（2）過B′作B′D⊥OA于D，設(shè)OD=a，
直角三角形OB′D中，OB′=OB=

2

，
根據(jù)勾股定理可得：B′D²=2-x²，
直角三角形B′DA中，AD=OA-OD=2-x，tan∠A=

B′D

AD

=

2 3 3

2

，
因此B′D=

3

3

（2-x），
因此：B′D²=2-x²=

1

3

（2-x）²
解得x=

1+ 3

2

（線段長不為負(fù)數(shù)，因此將負(fù)值舍去），
因此B′D=

2 2-( 1+ 3 2 )2

=

3 -1

2

，
因此B′的坐標(biāo)是（

3 +1

2

，

3 -1

2

），
由（1）知拋物線的解析式為y=-2x²+3x．
當(dāng)B′=

1+ 3

2

時(shí)，y=-2×（

1+ 3

2

）²+3×

1+ 3

2

=

3 -1

2

，
因此B′在拋物線上．

（3）因?yàn)锽點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1），B′的坐標(biāo)是（

3 +1

2

，

3 -1

2

），
因此BB′=

( 1+ 3 2 -1)2+( 3 -1 2 -1)2

=

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合了三角形的相關(guān)知識(shí)考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，
（2）中求B′坐標(biāo)時(shí)，構(gòu)建直角三角形運(yùn)用好兩直角三角形的公共直角邊是解題的關(guān)鍵．