已知x、y是實數(shù)且滿足x2+xy+y2-2=0,設(shè)M=x2-xy+y2,則M的取值范圍是
 
分析:把原式的xy變?yōu)?xy-xy,根據(jù)完全平方公式特點化簡,然后由完全平方式恒大于等于0,得到xy的范圍;再把原式中的xy變?yōu)?2xy+3xy,同理得到xy的另一個范圍,求出兩范圍的公共部分,然后利用不等式的基本性質(zhì)求出2-2xy的范圍,最后利用已知x2+xy+y2-2=0表示出x2+y2,代入到M中得到M=2-2xy,2-2xy的范圍即為M的范圍.
解答:解:由x2+xy+y2-2=0得:x2+2xy+y2-2-xy=0,
即(x+y)2=2+xy≥0,所以xy≥-2;
由x2+xy+y2-2=0得:x2-2xy+y2-2+3xy=0,
即(x-y)2=2-3xy≥0,所以xy≤
2
3
,
∴-2≤xy≤
2
3
,
∴不等式兩邊同時乘以-2得:
(-2)×(-2)≥-2xy≥
2
3
×(-2),即-
4
3
≤-2xy≤4,
兩邊同時加上2得:-
4
3
+2≤2-2xy≤4+2,即
2
3
≤2-2xy≤6,
∵x2+xy+y2-2=0,∴x2+y2=2-xy,
∴M=x2-xy+y2=2-2xy,
則M的取值范圍是
2
3
≤M≤6.
故答案為:
2
3
≤M≤6
點評:此題考查了完全平方公式,以及不等式的基本性質(zhì),解題時技巧性比較強,對已知的式子進行了三次恒等變形,前兩次利用拆項法拼湊完全平方式,最后一次變形后整體代入確定出M關(guān)于xy的式子,從而求出M的范圍.要求學(xué)生熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點:兩數(shù)的平方和加上或減去它們乘積的2倍等于兩數(shù)和或差的平方.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•菏澤)(1)已知m是方程x2-x-2=0的一個實數(shù)根,求代數(shù)式(m2-m)(m-
2
m
+1)
的值.
(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象交于A、B兩點.
①根據(jù)圖象求k的值;
②點P在y軸上,且滿足以點A、B、P為頂點的三角形是直角三角形,試寫出點P所有可能的坐標.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(1)已知m是方程x2-x-2=0的一個實數(shù)根,求代數(shù)式數(shù)學(xué)公式的值.
(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)數(shù)學(xué)公式的圖象交于A、B兩點.
①根據(jù)圖象求k的值;
②點P在y軸上,且滿足以點A、B、P為頂點的三角形是直角三角形,試寫出點P所有可能的坐標.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一個實數(shù)根,求代數(shù)式的值.

(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=﹣x的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點.

①根據(jù)圖象求k的值;

②點P在y軸上,且滿足以點A、B、P為頂點的三角形是直角三角形,試寫出點P所有可能的坐標.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(1)已知m是方程x2-x-2=0的一個實數(shù)根,求代數(shù)式的值.
(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點.
①根據(jù)圖象求k的值;
②點P在y軸上,且滿足以點A、B、P為頂點的三角形是直角三角形,試寫出點P所有可能的坐標.

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