Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交于點D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若BC=2，BD=，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先斷定直線BD與⊙O相切，再作證明：連接OD，由OA=OD，∠C=90°，得出∠A=∠ADO，∠CBD+∠CDB=90°，再由∠CBD=∠A，得出∠ADO+∠CDB=90°，∠ODB=90°，所以直線BD與⊙O相切；
（2）此題有兩種解法：以解法一為例：連接DE，由∠C=90°，BC=2，BD=，求出cos∠CBD的值，然后由AE是⊙O的直徑，得到∠ADE=90°，．再由∠CBD=∠A，得到==，又因為AE=2AO，所以求的值就容易了．
解答：解：（1）直線BD與⊙O相切．
證明：如圖1，連接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°．
∴∠ODB=90°．
∴直線BD與⊙O相切．

（2）解法一：如圖1，連接DE．
∵∠C=90°，BC=2，BD=
∴．
∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°．
∴．
∵∠CBD=∠A，
∴==．
∵AE=2AO，
∴=．

解法二：如圖2，過點O作OH⊥AD于點H．
∴．
∴
∵∠C=90°，BC=2，BD=
∴．
∵∠CBD=∠A，
∴==．
∴=．
點評：本題考查了切線的判斷與性質、圓周角定理、以及解直角三角形的知識，此題綜合性較強，做起來要認真、仔細才行．