Question

如圖，點P為正方形ABCD邊CD上一點，點E在AP的延長線上，DE=DA，∠EDP的平分線交EP于點F，過點A作FD的垂線交FD的延長線于點G．
（1）求證：EF=DG；
（2）連接BD交AP于點H，BH：HD=4：3，連接CE，若△CDE的面積為7，求DG長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明△AGD≌△DIE，進而得出GD=IE，再利用正方形的性質得出∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，即可得出答案；
（2）首先證明△ABH∽△PDH得出==，進而得出△ADP∽△ENP，利用=，得出NE=x，由△CDE的面積為7，求出x，即可得出DG的長．
解答：（1）證明：如圖1，
過點E作EI⊥GF于點I，
∵AG⊥GF，
∴∠G=∠DIE=90°，
在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠DAG+∠GDA=∠PDF+∠GDA=90°，
∴∠DAG=∠PDF，
∵∠EDP的平分線交EP于點F，
∴∠PDF=∠IDE，
∴∠DAG=∠IDE，
∵在△AGD和△DIE中
，
∴△AGD≌△DIE（AAS），
∴GD=IE，
在△ADE中，∠DAE+∠DEA+∠ADP+∠PDF+∠FDE=180°，
∵∠DAE=∠DEA，∠PDF=∠FDE，∠ADP=90°，
∴∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，
∴∠EF=IE，
∴EF=DG；

（2）解：如圖2，過點D作DM⊥AP于M，過點E作EN⊥CD于N，
在正方形ABCD中，∵DP∥AB，
∴∠BAH=∠DPH，∠ABH=∠PDH，
∴△ABH∽△PDH，
∴==，
設DP=3x，則AB=AD=DC=DE=4x，
在Rt△ADP中，AP==5x，
∵S_△ADP==，
∴DM=x，
∴在Rt△DMP中，MP=x，
∵tan∠DAP=，
∠DAE=∠DEA，
∴在Rt△DNE中，ME=x，
∴EF=x-x=x，PE=x-x=x，
∵∠ADP=∠ENP=90°，∠APD=∠EPN，
∴△ADP∽△ENP，
∴=，
∴NE=x，
∵△CDE的面積為7，
∴=7，
∴=7，
∴x=，
∴EF=，
∵EF=DG，
∴DG=1．
點評：此題主要考查了相似三角形的綜合應用以及全等三角形的判定與性質等知識，正確利用數形結合得出△ADP∽△ENP進而表示出NE的長是解題關鍵．