Question

已知拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求A、B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)D作DH丄y軸于點(diǎn)H，若DH=HC，求a的值和直線CD的解析式；
（3）在第（2）小題的條件下，直線CD與x軸交于點(diǎn)E，過線段OB的中點(diǎn)N作NF丄x軸，并交直線CD于點(diǎn)F，則直線NF上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到直線CD的距離等于點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0求得x的值，從而得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）令x=0，則y=-3a，求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出直線CD的解析式；
（3）設(shè)存在，作MQ⊥CD于Q，由Rt△FQM∽R(shí)t△FNE，得=，及可得出關(guān)于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由y=0得，ax²-2ax-3a=0，
∵a≠0，
∴x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）；

（2）由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，
∴C（0，-3a），
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
得D（1，-4a），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，
∴-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，，
解得，
∴直線CD的解析式為y=x+3；

（3）存在．
由（2）得，E（-3，0），
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0），N是線段OB的中點(diǎn)，
∴N（，0）
∴F（，），EN=，
作MQ⊥CD于Q，
設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M（，m），則FM=-m，
EF==，MQ=OM=
由題意得：Rt△FQM∽R(shí)t△FNE，
∴=，
即=，
∴2（+m²）=（-m）²，
整理得4m²+36m-63=0，
∴m²+9m=，
m²+9m+=+
（m+）²=
m+=±
∴m₁=，m₂=-，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M₁（，），M₂（，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有一元二次方程的解法．在求有關(guān)存在不存在問題時(shí)要注意先假設(shè)存在，再討論結(jié)果．