Question

（2011•濱州）如圖，某廣場(chǎng)設(shè)計(jì)的一建筑物造型的縱截面是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)O落在水平面上，對(duì)稱軸是水平線OC．點(diǎn)A、B在拋物線造型上，且點(diǎn)A到水平面的距離AC=4米，點(diǎn)B到水平面距離為2米，OC=8米．
（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）為了安全美觀，現(xiàn)需在水平線OC上找一點(diǎn)P，用質(zhì)地、規(guī)格已確定的圓形鋼管制作兩根支柱PA、PB對(duì)拋物線造型進(jìn)行支撐加固，那么怎樣才能找到兩根支柱用料最省（支柱與地面、造型對(duì)接方式的用料多少問題暫不考慮）時(shí)的點(diǎn)P？（無需證明）
（3）為了施工方便，現(xiàn)需計(jì)算出點(diǎn)O、P之間的距離，那么兩根支柱用料最省時(shí)點(diǎn)O、P之間的距離是多少？（請(qǐng)寫出求解過程）

Answer 1

解：（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)、射線OC為y軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²，
由題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）．
∵點(diǎn)A在拋物線上，
∴8=a×4²，
解得a=，
∴所求拋物線的函數(shù)解析式為：y=x²；
（2）找法：
延長(zhǎng)AC，交建筑物造型所在拋物線于點(diǎn)D，
則點(diǎn)A、D關(guān)于OC對(duì)稱．
連接BD交OC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
（3）由題意知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，
∵點(diǎn)B在拋物線上，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，8），
設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∴，
解得：k=﹣1，b=4．
∴直線BD的函數(shù)解析式為y=﹣x+4，
把x=0代入y=﹣x+4，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），
兩根支柱用料最省時(shí)，點(diǎn)O、P之間的距離是4米．

解析