Question

（2012•吳中區(qū)三模）己知點P（2，3）是反比例函數y=

k

x

圖象上的點．
（1）求過點P且與反比例函數y=

k

x

圖象只有一個公共點的直線的解析式；
（2）Q是反比例函數y=

k

x

圖象在第三象限這一分支上的動點，過點Q作直線使其與反比例函數y=

k

x

圖象只有一個公共點，且與x軸、y軸分別交于C、D兩點，設（1）中求得的一直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點．
①試判斷AD、BC的位置關系；
②探索當四邊形ABCD面積最小時，四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

分析：（1）把P的坐標代入即可求出反比例函數的解析式，得出直線x=2和直線y=3符合題意，設第三條直線解析式為y=ax+b，把P（2，3）代入得出y=kx+3-2k，聯立直線與反比例解析式得出方程kx²+（3-2k）x-6=0，根據根與系數的關系求出k，即可求出直線的解析式；
（2））①由（1）求出的直線y=-

3

2

x+6，求出A和B的坐標，得出OA=4，OB=6，設直線CD的解析式為y=mx+n，得出方程組

y=mx+n y= 6 x

，消去y整理后求出-

n2

m

=24，求出OC•OD=OA•OB，得出

OA

OC

=

OD

OB

，即可得出平行；②設OC=t，則OD=

24

r

，根據S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA得出S=3t+

48

t

+24，化成頂點式即可求出t，根據菱形的判定推出即可．

解答：（1）解：將P的坐標代入反比例解析式得：3=

k

2

，即k=6，
則反比例函數解析式為y=

6

x

，
顯然直線x=2與直線y=3與反比例函數圖象只有一個交點，滿足題意；
設第三條直線解析式為y=ax+b，
∵把P（2，3）代入得：3=2k+b，
即b=3-2k，
∴y=kx+3-2k，
聯立直線與反比例解析式得：

y=kx+3-2k y= 6 x

，
消去y整理得：kx²+（3-2k）x-6=0，
由題意得到方程有兩個相等的實數根，得到△=（3-2k）²+24k=（2k+3）²=0，
解得：k=-

3

2

，
故滿足題意的第三條直線為y=-

3

2

x+6；

（2）①由（1）求出的直線y=-

3

2

x+6，令x=0，得到y(tǒng)=6；令y=0，得到x=4，
則A（4，0），B（0，6），即OA=4，OB=6，
設直線CD的解析式為y=mx+n，
則

y=mx+n y= 6 x

只有一個解，
消去y整理得：mx²+nx-6=0，
△=n²+24m=0，
-

n2

m

=24，
OC•OD=

n

m

•（-n）=24=OA•OB，即

OA

OC

=

OD

OB

，
AD∥BC；
②設OC=t，則OD=

24

t

，
S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA=

1

2

×（6+

24

t

）×r+

1

2

×（6+

24

t

）×4
=3t+

48

t

+24
=3（

t

-

4

t

）²+48，
則當

t

-

4

t

=0，即t=4時，四邊形ABCD面積最小，
此時OA=OC=4，OB=OD=6，又AC⊥BD，
故四邊形ABCD為菱形．

點評：本題綜合考查了三角形的面積，反比例函數的解析式，平行線的性質和判定，菱形的判定，根的判別式，方程組等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，本題綜合性比較強，難度偏大，對學生提出較高的要求．