在直角坐標系xOy中，已知點P是反比例函數(shù)y=
2
3
x
（x＞0）圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．
（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．
（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時：
①求出點A，B，C的坐標．
②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的
1
2
？若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標；若不存在，試說明理由．
精英家教網(wǎng)
分析：（1）四邊形OKPA是正方形．當⊙P分別與兩坐標軸相切時，PA⊥y軸，PK⊥x軸，x軸⊥y軸，且PA=PK，可判斷結論；
（2）①連接PB，設點P（x，
2
3
x
），過點P作PG⊥BC于G，則半徑PB=PC，由菱形的性質(zhì)得PC=BC，可知△PBC為等邊三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=
2
3
x
，利用sin∠PBG=
PG
PB
，列方程求x即可；
②求直線PB的解析式，利用過A點或C點且平行于PB的直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，列方程組求滿足條件的M點坐標即可．
解答：解：（1）四邊形OKPA是正方形．
證明：∵⊙P分別與兩坐標軸相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四邊形OKPA是矩形．
又∵AP=KP，
∴四邊形OKPA是正方形．（2分）

精英家教網(wǎng)（2）①連接PB，設點P的橫坐標為x，則其縱坐標為
2
3
x
．
過點P作PG⊥BC于G．
∵四邊形ABCP為菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半徑）．
∴△PBC為等邊三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=
2
3
x
．
sin∠PBG=
PG
PB
，即
3
2
=
2
3
x
x
．
解之得：x=±2（負值舍去）．
∴PG=
3
，PA=BC=2．（4分）
易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0，
3
），B（1，0），C（3，0）．（6分）
設二次函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c．
據(jù)題意得：
a+b+c=0
9a+3b+c=0
c=
3

解之得：a=
3
3
，b=-
4
3
3
，c=
3
．
∴二次函數(shù)關系式為：y=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3
．（9分）
精英家教網(wǎng)
②解法一：設直線BP的解析式為：y=ux+v，據(jù)題意得：
u+v=0
2u+v=
3

解之得：u=
3
，v=-
3
．
∴直線BP的解析式為：y=
3
x-
3
，
過點A作直線AM∥BP，則可得直線AM的解析式為：y=
3
x+
3
．
解方程組：
y=
3
x+
3
y=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3

得：
x1=0
y1=
3
；
x2=7
y2=8
3
．
過點C作直線CM∥PB，則可設直線CM的解析式為：y=
3
x+t．
∴0=3
3
+t．
∴t=-3
3
．
∴直線CM的解析式為：y=
3
x-3
3
．
解方程組：
y=
3
x-3
3
y=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3

得：
x1=3
y1=0
；
x2=4
y2=
3
．
綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，
分別為：（0，
3
），（3，0），（4，
3
），（7，8
3
）．（12分）

解法二：∵S△PAB=S△PBC=
1
2
S?PABC，
∴A（0，
3
），C（3，0）顯然滿足條件．
延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴S△PBM=S△PBA=
1
2
S?PABC．
∴點M的縱坐標為
3
．
又∵點M的橫坐標為AM=PA+PM=2+2=4．
∴點M（4，
3
）符合要求．
點（7，8
3
）的求法同解法一．
綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，
分別為：（0，
3
），（3，0），（4，
3
），（7，8
3
）．（12分）

解法三：延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴S△PBM=S△PBA=
1
2
S?PABC．
∴點M的縱坐標為
3
．
即
3
3
x2-
4
3
3
x+
3
=
3
．
解得：x1=0（舍），x2=4．
∴點M的坐標為（4，
3
）．
點（7，8
3
）的求法同解法一．
綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，
分別為：（0，
3
），（3，0），（4，
3
），（7，8
3
）．（12分）
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關鍵是由菱形、圓的性質(zhì)，數(shù)形結合解題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

首先，我們看兩個問題的解答：
問題1：已知x＞0，求x+
3
x
的最小值．
問題2：已知t＞2，求
t2-5t+9
t-2
的最小值．
問題1解答：對于x＞0，我們有：x+
3
x
=(
x
-
3
x
)2+2
3
≥2
3
．當
x
=
3
x
，即x=
3
時，上述不等式取等號，所以x+
3
x
的最小值2
3
．
問題2解答：令x=t-2，則t=x+2，于是
t2-5t+9
t-2
=
(x+2)2-5(x+2)+9
x
=
x2-x+3
x
=x+
3
x
-1．
由問題1的解答知，x+
3
x
的最小值2
3
，所以
t2-5t+9
t-2
的最小值是2
3
-1．
弄清上述問題及解答方法之后，解答下述問題：
在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k＞0，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且使得△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3．
（1）用b表示k；
（2）求△AOB面積的最小值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直角坐標系xOy中，正方形OCBA的頂點A，C分別在y軸，x軸上，點B坐標為（6，6），拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A，B兩點，且3a-b=-1．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果動點E，F(xiàn)同時分別從點A，點B出發(fā)，分別沿A→B，B→C運動，速度都是每秒1個單位長度，當點E到達終點B時，點E，F(xiàn)隨之停止運動，設運動時間為t秒，△EBF的面積為S．
①試求出S與t之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；
②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以E，B，R，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點R的坐標；如果不存在，請說明理由．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在直角坐標系xoy中，函數(shù)y=4x的圖象與反比例函數(shù)y=
kx
（k＞0）的圖象有兩個公共點A、B（如圖），其中點A的縱坐標為4過點A作x軸的垂線，再過點B作y軸的垂線，兩垂線相交于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求△ABC的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•北京二模）已知：如圖，在直角坐標系xOy中，點A（8，0）、B（0，6），點C在x軸的負半軸上，AB=AC．動點M在x軸上從點C向點A移動，動點N在線段AB上從點A向點B移動，點M、N同時出發(fā)，且移動的速度都為每秒1個單位，移動時間為t秒（0＜t＜10）．
（1）設△AMN的面積為y，求y關于t的函數(shù)關系解析式；
（2）求四邊形MNBC的面積最小是多少？
（3）求時間t為何值時，△AMN是等腰三角形？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•鞍山三模）如圖，在直角坐標系xOy中，A、B是x軸上的兩點，以AB為直徑的圓交y軸于C，設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=x2-mx+n．方程x2-mx+n=0的兩根倒數(shù)和為-4．
（1）求n的值；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）設平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點，問是否存在此線段EF為直徑的圓恰好與x軸相切？若存在，求出此圓的半徑；若不存在，說明理由．

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