Question

如圖，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射線BC上的動點（點E與點B不重合），M是線段DE的中點，連結(jié)BD，交線段AM于點N，如果以A，N，D為頂點的三角形與△BME相似，則線段BE的長為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：分類討論

分析：如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意．因此本題分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠ADN=∠BME時，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出關(guān)于DE，BE，EM的比例關(guān)系式，即可求出x的值．
②當(dāng)∠AND=∠BEM時，∠ADB=∠BME，可根據(jù)這兩個角的正切值求出x的值．

解答：解：因為如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，設(shè)BE長為x．
①如圖1，當(dāng)∠ADN=∠BEM時，那么∠ADB=∠BEM，
作DF⊥BE，垂足為F，
tan∠ADB=tan∠BEM，
AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．
②如圖2，當(dāng)∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB，
∴

DE

BE

=

BE

EM

，
BE²=DE•EM=

1

2

DE²=

1

2

（DF²+EF²），
∴BE²=

1

2

[2²+（4-x）²]，
∴x₁=2，x₂=-10（舍去），
∴BE=2．
綜上所述線段BE為8或2，
故答案為8或2．

點評：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，題目的難度在于要根據(jù)不同的對應(yīng)角相等來分情況討論，不要漏解．