Question

如圖，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm，C點和M點重合，BC和MN在一條直線上．令Rt△PMN不動，矩形ABCD沿MN所在直線向右以每秒1cm的速度移動（如圖2），直到C點與N點重合為止．設移動x秒后，矩形ABCD與△PMN重疊部分的面積為ycm²．求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：在Rt△PMN中解題，要充分運用好垂直關系，作垂直輔助線，延長AD構成一個長方形，更有利解題，因為此題也是點的移動問題，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由開始向右移動到停止，和Rt△PMN重疊部分的形狀可分為下列三種情況，（1）C點由M點運動到F點的過程中（0≤x≤2）；（2）當C點由F點運動到T點的過程中（2＜x≤6）；（3）當C點由T點運動到N點的過程中（6＜x≤8）；把思路理清晰，解題就容易了．
解答：解：在Rt△PMN中，
∵PM=PN，∠P=90°
∴∠PMN=∠PNM=45°，
延長AD分別交PM，PN于點G、H．
過G作GF⊥MN于F，過H作HT⊥MN于T．
∵DC=2cm，
∴MF=GF=2cm，TN=HT=2cm．
∵MN=8cm，
∴MT=6cm．
因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由開始向右移動到停止，和Rt△PMN重疊部分的形狀可分為下列三種情況：
（1）當C點由M點運動到F點的過程中（0≤x≤2），如圖①所示，
設CD與PM交于點E，則重疊部分圖形是Rt△MCE，且MC=EC=x．
∴y=MC•EC=x²（0≤x≤2）．

（2）當C點由F點運動到T點的過程中（2＜x≤6），如圖②所示，重疊部分圖形是直角梯形MCDG．
∵MC=x，MF=2，
∴FC=DG=x-2，且DC=2，
∴y=（MC+GD）•DC=2x-2（2＜x≤6）．
（3）當C點由T點運動到N點的過程中（6＜x≤8），如圖③所示，

設CD與PN交于點Q，則重疊部分圖形是五邊形MCQHG．
∵MC=x，
∴CN=CQ=8-x，且DC=2，
∴y=（MN+GH）•DC-CN×CQ
=-（8-x）²+12（6＜x≤8）．
點評：此題主要考查直角三角形的性質和垂直關系的應用，直角三角形內部輔助線的作法，以及分類討論思想的應用．