【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2﹣2x)1nx+ax2+2,g(x)=f(x)﹣x﹣2. (Ⅰ)當(dāng)a=﹣1時(shí),求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若a>0且函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若e﹣2<x<e時(shí),g(x)≤m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)當(dāng)a=﹣1時(shí),f(x)=(x2﹣2x)1nx﹣x2+2定義域(0,+∞), f'(x)=(2x﹣2)1nx+(x﹣2)﹣2x,
∴f'(1)=﹣3,又f(1)=1,
∴f(x)在(1,f(1))處的切線方程3x+y﹣4=0.
(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣x﹣2=0,則(x2﹣2x)1nx+ax2+2=x+2


= ,
令t(x)=1﹣x﹣21nx,則 ,
∵x∈(0,+∞),∴t'(x)<0,
∴t(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
又∵t(1)=h'(1)=0,
∴當(dāng)0<x<1時(shí),h'(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),h'(x)<0,
∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴h(x)max=h(1)=1>0,
又∵ , ,a>0
∴當(dāng)函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),a=1
(Ⅲ)當(dāng)a=1,g(x)=(x2﹣2x)1nx+x2﹣x,若e﹣2<x<e,g(x)≤m,
只需證明g(x)max≤m,g'(x)=(x﹣1)(3+21nx)
令g'(x)=0得x=1或 ,又∵e﹣2<x<e,
∴函數(shù)g(x)在 上單調(diào)遞增,
上單調(diào)遞減,在(1,e)上單調(diào)遞增,
是g(x)的極大值點(diǎn),
,g(e)=2e2﹣3e
,
,∴m≥2e2﹣3e,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2e2﹣3e,+∞).
【解析】(Ⅰ)當(dāng)a=﹣1時(shí),f'(x)=(2x﹣2)1nx+(x﹣2)﹣2x,由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出f(x)在(1,f(1))處的切線方程.(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣x﹣2=0,則 ,則h′(x)= ,令t(x)=1﹣x﹣21nx,則 ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的值.(Ⅲ)當(dāng)a=1,若e﹣2<x<e,g(x)≤m,只需證明g(x)max≤m,由g'(x)=(x﹣1)(3+21nx),求出 是g(x)的極大值點(diǎn),由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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