Question

有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD、MF，若此時他測得BD=8cm，∠ADB=30度．
（1）試探究線段BD與線段MF的關(guān)系，并簡要說明理由；
（2）小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將△ABD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得△AB₁D₁，AD₁交FM于點(diǎn)K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當(dāng)△AFK為等腰三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)；
（3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如圖3），F(xiàn)₂M₂與AD交于點(diǎn)P，A₂M₂與BD交于點(diǎn)N，當(dāng)NP∥AB時，求平移的距離是多少？

Answer 1

分析：（1）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進(jìn)而可得∠DNM的大�。�
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論．
（3）求平移的距離是A₂A的長度．在矩形PNA₂A中，A₂A=PN，只要求出PN的長度就行．用△DPN∽△DAB得出：

PN

AB

=

DP

DA

，解得A₂A的大�。�

解答：解：（1）BD=MF，BD⊥MF．（1分）
延長FM交BD于點(diǎn)N，
由題意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．（2分）
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．（3分）

（2）當(dāng)AK=FK時，∠KAF=∠F=30°，
則∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②當(dāng)AF=FK時，∠FAK=

180°-∠F

2

=75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
∴β的度數(shù)為60°或15°（答對一個得2分）（7分）

（3）由題意得矩形PNA₂A．設(shè)A₂A=x，則PN=x（如圖3），
在Rt△A₂M₂F₂中，∵F₂M₂=FM=8，
∴A₂M₂=4，A₂F₂=4

3

，∴AF₂=4

3

-x．
∵∠PAF₂=90°，∠PF₂A=30°，
∴AP=AF₂•tan30°=4-

3

3

x．
∴PD=AD-AP=4

3

-4+

3

3

x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB．（9分）
∴

PN

AB

=

DP

DA

．（10分）
∴

x

4

=

4 3 -4+ 3 3 x

4 3

，解得x=6-2

3

．（11分）
即A₂A=6-2

3

．
答：平移的距離是（6-2

3

）cm．（12分）

點(diǎn)評：考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定，平移的性質(zhì)．