Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．P是AB的中點(diǎn)，正方形ADEF的邊在線段CP上，則正方形ADEF與△ABC的面積的比為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)AC與EF交于點(diǎn)M，首先根據(jù)∠BAC=90°，∠DAF=90°，可知∠PAD=∠MAF，根據(jù)SAS證明△PAD≌△MAF，可得AP=AM，已知P為AB中點(diǎn)，則知道M為AC中點(diǎn)，又可證明△AFM≌△CEM，得出M為EF中點(diǎn)，設(shè)FM=x，則EF=AD=2x，根據(jù)勾股定理得出AP=x，則AB=2x，分別求出△ABC的面積和正方形ADEF的面積，即可求出它們的比值．
解答：解：設(shè)AC與EF交于點(diǎn)M，
∵∠BAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠PAD=∠MAF，
在△PAD和△MAF中，
，
∴△PAD≌△MAF，
則AP=AM，
∵P為AB中點(diǎn)，AB=AC，
∴M為AC中點(diǎn)，
在△AFM和△CEM中，
，
∴△AFM≌△CEM，
則M為EF中點(diǎn)，
設(shè)FM=x，則EF=AD=2x，
∴AM==x，
則AB=AC=2AM=2x，
∴S_△ABC=×2x•2x=10x²，
S_{正方形ADEF}=2x•2x=4x²．
則正方形ADEF與△ABC的面積的比為==．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，涉及了全等三角形的證明，勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)各邊之間的關(guān)系求出兩圖形的面積．