Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為    ．

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．
連結(jié)AC，先利用勾股定理計(jì)算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90°，所以點(diǎn)A、B′、C共線(xiàn)，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)B′處，則EB=EB′，AB=AB′=3，可計(jì)算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．
②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)ABEB′為正方形．
解答：解：當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．
連結(jié)AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，
∴∠AB′E=∠B=90°，
當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠EB′C=90°，
∴點(diǎn)A、B′、C共線(xiàn)，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)B′處，如圖，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′²+CB′²=CE²，
∴x²+2²=（4-x）²，解得x=，
∴BE=；
②當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示．
此時(shí)ABEB′為正方形，∴BE=AB=3．
綜上所述，BE的長(zhǎng)為或3．
故答案為：或3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊問(wèn)題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等；對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類(lèi)討論，避免漏解．