從甲、乙兩題中選做一題,如果兩題都做,只以甲題計(jì)分.
甲題:若關(guān)于x的一元二次方程x2-2(2-k)x+k2+12=0有實(shí)數(shù)根α、β.
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)設(shè)t=
α+βk
,求t的最小值.
乙題:如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.
分析:甲題(1)根據(jù)一元二次方程的根的判別式求出即可;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和k的范圍求出即可;
乙題,先證OE=OC=OF,得出平行四邊形AECF,證∠ECF=90°,根據(jù)矩形的判定推出即可.
解答:甲題:解:(1)∵一元二次方程x2-2(2-k)x+k2+12=0有實(shí)數(shù)根α、β
∴△≥0,即4(2-k)2-4(k2+12)≥0,
解得k≤-2;
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得:α+β=-[-2(2-k)]=4-2k,
t=
α+β
k
=
4-2k
k
=
4
k
-2
,
∵k≤-2,
∴-4≤t<0,
答:t的最小值為-4;               
乙題:當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形,
證明:
∵M(jìn)N∥BC,
∴∠2=∠3,
∵CF平分∠ACQ,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴OC=OF,
同理OE=OC,
∴OE=OF,
∵AO=OC,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵CE平分∠BCA,∠1=∠2=
1
2
∠ACQ,
∴∠BCE=∠ECA=
1
2
∠BCA,
∴∠ECF=
1
2
(∠BCA+∠ACQ)=90°,
∴平行四邊形AECF是矩形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行線性質(zhì),根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,平行四邊形的判定和矩形的判定,主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)從甲、乙兩題中選做一題即可.如果兩題都做,只以甲題計(jì)分.
題甲:如圖,反比例函數(shù)y=
kx
的圖象與一次函數(shù)y=mx+b的圖象交于A(1,3),B(n,-1)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象回答:當(dāng)x取何值時(shí),反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值.

題乙:如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10.直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與A,D不重合),一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,另一直角邊AB交于點(diǎn)E.我們知道,結(jié)論“Rt△AEP∽R(shí)t△DPC”成立.
(1)當(dāng)∠CPD=30°時(shí),求AE的長(zhǎng);
(2)是否存在這樣的點(diǎn)P,使△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的2倍?若存在,求出DP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)精英家教網(wǎng)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

從甲、乙兩題中選做一題.如果兩題都做,只以甲題計(jì)分.
題甲:若關(guān)于x一元二次方程x2-2(2-k)x+k2+12=0有實(shí)數(shù)根a,β.
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)設(shè)t=
a+β
k
,求t的最小值.
題乙:如圖所示,在矩形ABCD中,P是BC邊上一點(diǎn),連接DP并延長(zhǎng),交AB的延長(zhǎng)線精英家教網(wǎng)于點(diǎn)Q.
(1)若
BP
PC
=
1
3
,求
AB
AQ
的值;
(2)若點(diǎn)P為BC邊上的任意一點(diǎn),求證:
BC
BP
-
AB
BQ
=.
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題.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

從甲、乙兩題中選做一題即可,如果兩題都做,只以甲題計(jì)分.
甲:小東從A地出發(fā)以某一速度向B地走去,同時(shí)小明從B地出發(fā)以另-速度向A地而行.如圖所示,圖中精英家教網(wǎng)的線段y1、y2分別表示小東、小明離B地的距離(千米)與所用時(shí)間(小時(shí))的關(guān)系.
(1)試用文字說(shuō)明:交點(diǎn)P所表示的實(shí)際意義;
(2)試求y1、y2的解析式;
(3)試求出A、B兩地之間的距離.

乙:如圖,?ABCD中,E是BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE與AD交于點(diǎn)F.
(1)求證:△AEF∽△DCF;精英家教網(wǎng)
(2)若AB=2AE,△AEF的面積為2
2
,求?ABCD的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)本題為選做題,從甲、乙兩題中選做一題即可,如果兩題都做,只以甲題計(jì)分.
選做題:甲:已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m-2=0
(1)求證:不論m取何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2滿足
1
x1
+
1
x2
=1+
1
m+2
,求m的值.
乙:如圖,點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)B在⊙O上,且AB=AD=AO.
(1)求證:BD是⊙O的切線.
(2)若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn),AE與BC相交于點(diǎn)F,且△BEF的面積為8,cos∠BFA=
2
3
,求△ACF的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•峨眉山市二模)選做題:從甲、乙兩題中選做一題,如果兩題都做,只以甲題計(jì)分.
題甲:如圖1,正比例函數(shù)y=-
1
2
x
的圖象與反比例函數(shù)y=
k
x
(k≠0)
在第二象限的圖象交于A點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為M,已知△OAM的面積為1.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)如果B為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn),且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,在x軸上一點(diǎn)P,使PA+PB最小,求P點(diǎn)的坐標(biāo).
題乙:如圖2,已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦,D為BC的中點(diǎn),DE⊥AC于E,DE=6,AC=16.
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)求直徑AB的長(zhǎng).

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