(2009•孝感)如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,點(diǎn)P是圓外一點(diǎn),PA切⊙O于點(diǎn)A,且PA=PB.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)已知PA=,BC=1,求⊙O的半徑.

【答案】分析:(1)要證PB是⊙O的切線,只要連接OB,求證∠OBP=90°即可;
(2)連接OP,交AB于點(diǎn)D,求半徑時(shí),可以證明△APO∽△DPA,還可證明△PAO∽△ABC,在Rt△OAP中利用勾股定理.
解答:(1)證明:連接OB,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∵PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA,
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA,
∴∠PAO=∠PBO.(2分)
又∵PA是⊙O的切線,
∴∠PAO=90°,
∴∠PBO=90°,
∴OB⊥PB.(4分)
又∵OB是⊙O半徑,
∴PB是⊙O的切線,(5分)
說(shuō)明:還可連接OB、OP,利用△OAP≌△OBP來(lái)證明OB⊥PB.

(2)解:連接OP,交AB于點(diǎn)D,
∵PA=PB,
∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.
∵OA=OB,
∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上,
∴OP垂直平分線段AB,(7分)
∴∠PDA=90°.
又∵PA切⊙O于點(diǎn)A,
∴∠PAO=90°,
∴∠PAO=∠PDA,
又∵∠APO=∠DPA,
∴△APO∽△DPA,
,
∴AP2=PO•DP.
又∵OD=BC=,
∴PO(PO-OD)=AP2,即PO(PO-)=AP2,即:PO2-PO=,
解得PO=2,(9分)
在Rt△APO中,,即⊙O的半徑為1.(10分)
說(shuō)明:求半徑時(shí),還可證明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是切線的判定,要證某線是圓的切線,已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.同時(shí)考查了相似三角形的判定和性質(zhì),及勾股定理的運(yùn)用.
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(1)圖1中,四邊形PEOF的面積S1=______(用含k1、k2的式子表示);
(2)圖2中,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,3).
①判斷EF與AB的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
②記S2=S△PEF-S△OEF,S2是否有最小值?若有,求出其最小值;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A.(,
B.(
C.(,
D.(,

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