Question

如圖所示．P是⊙O外一點(diǎn)．PA是⊙O的切線．點(diǎn)A是切點(diǎn)．B是⊙O上一點(diǎn)．
且PA = PB，連接AO、BO、PO、AB，并延長BO與切線PA相交于點(diǎn)C．
（1）求證：PB是⊙O的切線 ；
（2）求證： AC ? PC=" OC" ? BC ； 
（3）設(shè)∠AOC =，若cos=，OC =" 15" ，求AB的長。

Answer 1

（1）證明： ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO
∴△APO≌△BPO        ∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB是⊙O的切線
（2）證明：∵∠OAC=∠PBC=90°
∴△CPB∽COA
∴   即AC?PC= OC?BC
（3）解：cos==      ∴AO=12
∵△CPB∽COA     ∠BPC=∠AOC=
∴tan∠BPC==     ∴PB=36   PO=12
∵AB?PO= OB?BP        ∴AB=

（1）連接OP，與AB交于點(diǎn)C．欲證明PB是⊙O的切線，只需證明∠OBP=90°即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定定理AA證明△CPB∽△COA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得，即AC?PC= OC?BC；
（3）在Rt△OAQ中根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)的余弦值的定義解得AO=12，利用△CPB∽COA求出PB=36，OP=12；然后由切線的性質(zhì)求AB的長．