如圖,AB為等腰直角△ABC的斜邊(AB為定長(zhǎng)線段),O為AB的中點(diǎn),P為AC延長(zhǎng)線上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段PB的垂直平分線交線段OC于點(diǎn)E,D為垂足,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),給出下列四個(gè)結(jié)論:

①E為△ABP的外心;   ②△PBE為等腰直角三角形;

③PC·OA = OE·PB;    ④CE + PC的值不變.

A.1個(gè)       B.2個(gè)    C.3個(gè)         D.4個(gè)

 

【答案】

C

【解析】解:①∵CO為等腰Rt△ABC斜邊AB上的中線,

∴CO垂直平分AB;

又∵DE平分PB,即E點(diǎn)是AB、BP兩邊中垂線的交點(diǎn),

∴E點(diǎn)是△ABP的外心,故①正確;

②如圖,連接AE;

由①知:AE=EP=EB,則∠EAP=∠EPA,∠EPB=∠EBP,∠EAB=∠EBA;

∵∠PAB=45°,即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2(∠EAP+∠EAB)=2∠PAB=90°,

由三角形內(nèi)角和定理知:∠EPB+∠EBP=90°,即∠EPB=∠EBP=45°,

∴△PEB是等腰直角三角形;故②正確;

③∵∠PBE=∠ABC=45°,

∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE,

又∵∠EOB=∠PCB=90°,

∴△BPC∽△BEO,得:PC/OE =BC/OB ,即PC•OB=OE•BC⇒PC•OA=OE•BC;

故③錯(cuò)誤;

④過(guò)E作EM⊥OC,交AC于M;

易知:△EMC是等腰直角三角形,即MC=EC,∠PME=45°;

∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC,

又∵EC=ME,PE=BE,

∴△PME≌△BCE(SAS),得PM=BC,即PM是定值;

由于PM=CM+PC=EC+PC,所以CE+PC的值不變,故④正確;

因此正確的結(jié)論是①②④,故選C.

 

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①E為△ABP的外心;②△PBE為等腰直角三角形;
③PC•OA=OE•PB;④
2
CE+PC的值不變.
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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①E為△ABP的外心;②∠PEB=90°;③PC•BE=OE•PB;④
2
CE+PC=
2
2
AB

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①E為△ABP的外心;②△PBE為等腰直角三角形;
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