如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知折痕AE=5數(shù)學(xué)公式cm，且tan∠EFC=數(shù)學(xué)公式．
（1）△AFB與△FEC有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論．
（2）求矩形ABCD的周長．

解：（1）△AFB∽△FEC．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△AFB∽△FEC；

（2）∵tan∠EFC=，
∴在Rt△EFC中，=，
設(shè)EC=3xcm，F(xiàn)C=4xcm，
∴EF==5x（cm），
由折疊的性質(zhì)可得：DE=EF=5xcm，
∴AB=CD=DE+CE=8x（cm），
∵∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF==，
∴BF=6xcm，
∴AF==10x（cm），
∴AE==5x（cm），
∵AE=5cm，
∴x=1，
∴AD=BC=AF=10x=10（cm），AB=CD=8x=8（cm），
∴矩形ABCD的周長為：10+10+8+8=36（cm）．
分析：（1）由矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，易證得∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC，繼而證得△AFB∽△FEC；
（2）設(shè)EC=3xcm，F(xiàn)C=4xcm，繼而求得AF=5xcm，則可求得x的值，繼而求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及折疊的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

28、操作與探究：
（1）圖①是一塊直角三角形紙片．將該三角形紙片按如圖方法折疊，是點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，DE為折痕．試證明△CBE等腰三角形；
（2）再將圖①中的△CBE沿對稱軸EF折疊（如圖②）．通過折疊，原三角形恰好折成兩個(gè)重合的矩形，其中一個(gè)是內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合（指無縫無重疊）所成的矩形，我們稱這樣的兩個(gè)矩形為“組合矩形”．你能將圖③中的△ABC折疊成一個(gè)組合矩形嗎？如果能折成，請?jiān)趫D③中畫出折痕；
（3）請你在圖④的方格紙中畫出一個(gè)斜三角形，同時(shí)滿足下列條件：①折成的組合矩形為正方形；②頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（各小正方形的頂點(diǎn)）上；
（4）有一些特殊的四邊形，如菱形，通過折疊也能折成組合矩形（其中的內(nèi)接矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在原四邊形的四條邊上）．請你進(jìn)一步探究，一個(gè)非特殊的四邊形（指除平行四邊形、梯形外的四邊形）滿足何條件時(shí)，一定能折成組合矩形？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

5、如圖，AD是△ABC的角平分線，將△ABC折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕為EF，則四邊形AEDF一定是（　　）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

20、按要求解答下列問題：
（1）圖1是一塊直角三角形紙片，將該三角形紙片按如圖方法折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，DE為折痕，試證明△CBE為等腰三角形；
（2）再將圖1中的△CBE沿對稱軸EF折疊（如圖2）．通過折疊，原三角形恰好折成兩個(gè)完全重合的矩形，其中一個(gè)是內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合（指無縫隙無重疊）所成的矩形，我們稱這樣的兩個(gè)矩形為“組合矩形”，你能將圖3中的△ABC折疊成一個(gè)組合矩形嗎？如果能折成，請?jiān)趫D3中畫出折痕；
（3）請你在圖4的方格紙中畫出一個(gè)斜三角形，使它同時(shí)滿足下列條件：①折成的組合矩形為正方形；②頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（各小正方形頂點(diǎn)）上．（畫出一個(gè)即可）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

（1）在矩形ABCD中，AB=12，BC=6，邊CD上A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
3
3
個(gè)；
（2）如圖1，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，DP=4，DM=8，AN=5．過點(diǎn)P作直線l平行于BC，點(diǎn)H為M、N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上，求PH的長；
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，將紙片折疊，折痕分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G，若A、E兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)為BC邊的中點(diǎn)M，求折痕FG的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，將△ABC沿AC折疊，點(diǎn)B落在B′處，AB′交CD于E，P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PH⊥AB′于H，PG⊥CD于G，則PG+PH的值為
3
3
．

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