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10.如圖,已知拋物線y=-13x2+bx+1與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A(0,-12),點(diǎn)B(1,0),直線AB與拋物線相交于點(diǎn)D,點(diǎn)E位于第一象限內(nèi),且在直線AD上方(不含點(diǎn)D)的拋物線上,連結(jié)EA、EB.
(1)如圖1,若點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D.
①求拋物線的解析式;
②設(shè)所得△ABE的面積為S,求S的取值范圍.
(2)如圖2,若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,-1),連結(jié)CD、CB,記拋物線與x軸的交點(diǎn)為F,問(wèn):是否存在這樣的點(diǎn)E,使得tan∠BDC×tan∠EBF=1?,若存在,請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)E的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)①根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸x=32b及C(0,1)得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3b,1),求出直線AB解析式,將點(diǎn)D坐標(biāo)代入可得b的值;
②設(shè)過(guò)點(diǎn)E且與AB平行的直線為y=12x+k,當(dāng)此直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)面積最大,即-13x2+x+1=12x+k只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,從而求得k的值,即可知此直線與x軸的交點(diǎn),結(jié)合直線的斜率得出△ABE的高,根據(jù)三角形的面積公式可得最大值,從而知S的范圍;
(2)由點(diǎn)D(-1,-1)求得拋物線解析式,根據(jù)△DCB的面積得出C到直線AB的距離,從而知sin∠BDC=355=35、tan∠BDC=34,根據(jù)tan∠BDC×tan∠EBF=1知tan∠EBF=43,設(shè)E(x,-13x2+53x+1),有13x2+53x+1x1=43,解之可得.

解答 解:(1)①∵拋物線的對(duì)稱軸為x=32b,且與y軸的交點(diǎn)C(0,1),
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3b,1),
∵A(0,12)、B(1,0),
∴直線AB的解析式為y=12x-12,
將點(diǎn)D(3b,1)代入得:1=32b-12,
解得:b=1,
∴拋物線的解析式為y=-13x2+x+1;
②設(shè)過(guò)點(diǎn)E且與AB平行的直線為y=12x+k,
當(dāng)此直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)面積最大,
∴-13x2+x+1=12x+k,即-13x2-12x+k-1=0,
由△=0可得14-43(k-1)=0,解得:k=1916,
∴y=12x+1916,與x軸的交點(diǎn)為(-198,0),
∴△ABE的高為(198+1)sin∠ABO=278×15
∵AB=52,
∴S的最大值為12×278×15×52=2732,
∴0<S<2732

(2)將D(-1,-1)代入y=-13x2+bx+1,得:b=53
∴y=-13x2+53x+1,

∵△DCB的面積=12×32×2=32,
∴C到直線AB的距離為32×25=35,
∴sin∠BDC=355=35,
∴tan∠BDC=34,
∵tan∠BDC×tan∠EBF=1,
∴tan∠EBF=43
設(shè)E(x,-13x2+53x+1),
13x2+53x+1x1=43,
解得:x=1+292或x=1292(舍),
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1+292

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合,熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積、三角函數(shù)的應(yīng)用及點(diǎn)到直線的距離、平行線間的距離是解題的關(guān)鍵.

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