Question

（2013•蘇州一模）如圖，正方形ABCD中，BE=CF．
（1）求證：△BCE≌△CDF；
（2）求證：CE⊥DF；
（3）若CD=4，且DG²+GE²=18，則AE=

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，可得DC=BC，∠DCF=∠CGE，結合BE=CF，于是可以證明△BCE≌△CDF；
（2）由△DCF≌△CBE得到∠BCE=∠CDF，結合角角之間的數(shù)量關系，證明出CE⊥DF；
（3）連接DE，首先證明△DGE是直角三角形，利用勾股定理結合正方形的性質即可求出AE．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCF=∠CGE，
∵在△DCF和△CBE中，

BE=CF ∠DCF=∠B BC=DC

，
∴△DCF≌△CBE（SAS）；

（2）∵△DCF≌△CBE，
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠DFC=90°，
∴∠CGF=90°；

（3）連接DE，
∵∠CGF=90°，
∴∠EGD=90°，
∴△DGE是直角三角形，
∵DE²=DG²+GE²=18，
∵CD=4，
∴AD=CD=4，
∴AE=

DE2-CD2

=

18-16

=

2

，
故答案為

2

．

點評：本題主要考查正方形的性質以及全等三角形的判定等知識，解答本題的關鍵是熟練掌握正方形的性質以及勾股定理的應用，此題難度一般．