Question

已知：如圖(a)，在△ABC中，D是BC邊上的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．

(1)求證：△ABC∽△FCD；

(2)若S_△FCD＝5，BC＝10，求DE的長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵DE⊥BC．D是BC中點， 　　∴EB＝EC，∴∠B＝∠1． 　　又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB． 　　∴△ABC∽△FCD． 　　(2)解：[方法一](見圖(b)) 　　過點A作AM⊥BC，垂足為點M． 　　∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD， 　　∴＝()2＝4． 　　又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20． 　　∵S△ABC＝BC·AM，BC＝10， 　　∴20＝×10×AM，∴AM＝4． 　　又∵DE∥AM，∴＝． 　　∵DM＝DC＝， 　　BM＝BD＋DM，BD＝BC＝5， 　　∴＝． 　　∴DE＝．

提示：

(1)由已知條件“D是BC邊上的中點，DE⊥BC”可以得出EB＝EC，進而可以得到∠1＝∠B；再由“AD＝AC”可推出∠2＝∠ACB，從而能夠推出△ABC∽△FCD． 　　(2)由(1)知△ABC∽△FCD，可以得到相似比為2∶1，利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出DE的長． 　　說明：本題也可運用△ABC∽△FCD，由相似比為2，證出F是AD的中點，通過“兩三角形等底、等高，則面積相等”，求出S△ABC＝20． 　　[方法二](見圖(c)) 　　作FH⊥BC，垂足為點H． 　　∵S△FCD＝DC·FH， 　　又∵S△FCD＝5，DC＝BC＝5， 　　∴5＝×5×FH．∴FH＝2． 　　過點A作AM⊥BC，垂足為點M． 　　∵△ABC∽△FCD， 　　∴＝＝，∴AM＝4． 　　又∵FH∥AM， 　　∴＝＝＝． 　　∴點H是DM的中點． 　　又∵FH∥DE，∴＝． 　　∵HC＝HM＋MC＝， 　　∴＝．∴DE＝．