Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．

①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題．

專題：

代數(shù)幾何綜合題．

分析：

（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；

（2）①根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，PD越大，△PDE的周長(zhǎng)最大，再判斷出當(dāng)與直線AB平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，PD最大，再求出直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯(lián)立消掉y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②先確定出拋物線的對(duì)稱軸，然后（i）分點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥對(duì)稱軸于Q，根據(jù)同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角邊”證明△APF和△MPQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PF=PQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，表示出PQ的長(zhǎng)，即PF，然后代入拋物線解析式計(jì)算即可得解；（ii）點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，同理求出△APF和△ANQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PF=AQ，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，

解得，

所以，拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3；

（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x軸，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周長(zhǎng)越大，

易得直線AB的解析式為y=x+3，

設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，

聯(lián)立，

消掉y得，x²+3x+m﹣3=0，

當(dāng)△=3²﹣4×1×（m﹣3）=0，

即m=時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長(zhǎng)，

此時(shí)x=﹣，y=﹣+=，

∴點(diǎn)P（﹣，）時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大；

②拋物線y=﹣x²﹣2x+3的對(duì)稱軸為直線x=﹣=﹣1，

（i）如圖1，點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥對(duì)稱軸于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，

∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，

∴∠APF=∠QPM，

∵在△APF和△MPQ中，

，

∴△APF≌△MPQ（AAS），

∴PF=PQ，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n（n＜0），則PQ=﹣1﹣n，

即PF=﹣1﹣n，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，﹣1﹣n），

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x²﹣2x+3上，

∴﹣n²﹣2n+3=﹣1﹣n，

整理得，n²+n﹣4=0，

解得n₁=（舍去），n₂=，

﹣1﹣n=﹣1﹣=，

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

（ii）如圖2，點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，

∴∠FPA=∠QAN，

又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，

∴△APF≌△NAQ，

∴PF=AQ，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（x，﹣x²﹣2x+3），

則有﹣x²﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，

解得x=﹣1（不合題意，舍去）或x=﹣﹣1，

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．

綜上所述，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣﹣1，2）．

點(diǎn)評(píng)：

本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，（2）確定出△PDE是等腰直角三角形，從而判斷出點(diǎn)P為平行于AB的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵，（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示出縱坐標(biāo)或用縱坐標(biāo)求出橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．