Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，AB為直徑，過點(diǎn)D的切線交BC的延長線于點(diǎn)E．若BE⊥DE，AD+DC=40，⊙O的半徑為，求BC的長及tan∠CDB的值．

Answer 1

【答案】分析：連接AC，由AB為直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到一對直角相等，再由BE垂直于DE得到∠E為直角，進(jìn)而得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到DE與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對角相等，再利用弦切角等于夾弧所對的圓周角，等量代換及等角對等邊得到AD=DC，由AD+DC=40求出AD=DC=20，由圓四邊形的外角等于它的內(nèi)對角得到一對角相等，再由一對直角相等得到三角形DEC與三角形ABD相似，由AD，DC，AB的長求出CE的長，根據(jù)勾股定理求出DE的長，再利用切割線定理求出EB的長，由EB-EC即可求出BC的長，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠CDB=∠CAB，在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠CAB的值，即為tan∠CDB的值．
解答：解：連接AC，
∵AB為直徑，BE⊥DE，
∴∠ADB=∠ACB=∠E=90°，
∴DE∥AC，
∴∠EDC=∠DCA，
∵ED切圓O于點(diǎn)D，
∴∠EDC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=DC，
∵AD+DC=40，
∴AD=DC=20，
∵圓O的半徑為，AB為直徑，
∴AB=，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，
∴∠DCE=∠DAB，
又∵∠E=∠ADB=90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴===，
∴CE=AD=×20=12，
∴DE===16，
∵DE是切線，ECB是割線，
∴ED²=EC•EB，
∴EB===，
∴BC=BE-CE=，
∴AC===32，
∴tan∠CAB===，
∵∠CDB=∠CAB，
∴tan∠CDB=tan∠CAB=，
則BC=，tan∠CDB=．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．