Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AB、AC的中點，連接CD，過E作EF∥DC交BC的延長線于F．

（1）證明：四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）若四邊形CDEF的周長是16cm，AC的長為8cm，求線段AB的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）10cm

【解析】

（1）由三角形中位線定理推知BD∥FC，2DE＝BC，然后結合已知條件“EF∥DC”，利用兩組對邊相互平行得到四邊形DCFE為平行四邊形；

（2）根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AB＝2DC，即可得出四邊形DCFE的周長＝AB+BC，故BC＝16﹣AB，然后根據勾股定理即可求得．

（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，

∴ED是Rt△ABC的中位線，

∴ED∥BC．BC＝2DE，

又 EF∥DC，

∴四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形CDEF是平行四邊形；

∴DC＝EF，

∵DC是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

∴AB＝2DC，

∴四邊形DCFE的周長＝AB+BC，

∵四邊形DCFE的周長為16cm，AC的長8cm，

∴BC＝16﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴AB2＝BC2+AC2，

即AB2＝（16﹣AB）2+82，

解得：AB＝10cm，