Question

如圖，以BC為直徑的⊙O₁與⊙O₂外切，⊙O₁與⊙O₂的外公切線交于點D，且∠ADC=60°，過B點的⊙O₁的切線交其中一條外公切線于點A．若⊙O₂的面積為π，則四邊形ABCD的面積是        ．

 

Answer 1

【答案】

12

【解析】解：∵⊙O₂的面積為π，

∴⊙O₂的半徑是1，

∵AB和AH是⊙O₁的切線，

∴AB=AH，

設⊙O₂的半徑是R，

連接DO₂，DO₁，O₂E，O₁H，AO₁，作O₂F⊥BC于F，

∵⊙O₁與⊙O₂外切，⊙O₁與⊙O₂的外公切線DC．DA，∠ADC=60°，

∴D．O₂、O₁三點共線，∠CDO₁=30°，

∴∠DAO₁=60°，∠O₂EC=∠ECF=∠CFO₂=90°，

∴四邊形CFO₂E是矩形，

∴O₂E=CF，CE=FO₂，∠FO₂O₁=∠CDO₁=30°，

∴DO₂=2O₂E=2，∠HAO₁=60°，R+1=2（R﹣1），

解得：R=3，

即DO₁=2+1+3=6，

在Rt△CDO₁中，由勾股定理得：CD=3，

∵∠HO₁A=90°﹣60°=30°，HO₁=3，

∴AH==AB，

∴四邊形ABCD的面積是：×（AB+CD）×BC=×（+3）×（3+3）=12．