Question

已知，如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C以每秒1cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0＜t＜6），回答下列問(wèn)題：
（1）直接寫出線段AP、AQ的長(zhǎng)（含t的代數(shù)式表示）：AP=

2t

，AQ=

6-t

；
（2）設(shè)△APQ 的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時(shí)間t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠A=60°，AB=12cm，得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AP=2t，AQ=6-t．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H．由AP=2t，AH=t，得出PH=

3

t，從而求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于M，根據(jù)菱形的性質(zhì)得PQ=PC，則可得出PN=QM=CM，求得t即可．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴AC=6，
∴由題意知：AP=2t，AQ=6-t，

（2）如圖①過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴∠B=30°，
∴∠HPA=30°，
∵AP=2t，AH=t，
∴PH=

3

t，
∴S=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×

3

t×（6-t）=-

3

2

t²+3

3

t；

（3）當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQP′C是菱形，
證明：如圖②過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于M，
∵CQ=t，由（2）可知，AM=

1

2

AP=tcm，
∴QC=AM，當(dāng)PC=PQ時(shí)，即CM=MQ=AQ=

1

3

AC=2時(shí)，
∴四邊形PQP′C是菱形，
即當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQP′C是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是中考?jí)狠S題，難度偏大，正確利用菱形判定得出是解題關(guān)鍵．