Question

已知：如圖，MN為⊙O的直徑，l⊥MN于H，割線MCA及弦MBD分別交⊙O于C、D．
求證：MA•MC=MB•MD．

Answer 1

證明：連接CN、DN，
∵M(jìn)N是直徑，
∴∠D=90°
∵l⊥MN，
∴∠MHB=90°
在△MND與△MBH中，∵∠BMH=∠NMD，
∴Rt△MND∽R(shí)t△MBH，
∴=
∴MB•MD=MN•MH①
同理可證Rt△AHM∽R(shí)t△NCM，
∴．
∴MN•MH=MA•MC②
由①、②，有MA•MC=MB•MD．
分析：先連接CN、DN，有MN⊥l，AB是直徑，可得一組對應(yīng)角都是90°，再加上一對公共角，可證兩個(gè)直角三角形全等Rt△MND∽R(shí)t△MBH，由此可得比例線段，同理可證另一對直角三角形全等Rt△AHM∽R(shí)t△NCM，也可得比例線段，利用等量代換，可證此題．
點(diǎn)評：本題利用了直徑所對的圓周角是90°、相似三角形的判定和性質(zhì)、等量代換等知識(shí)．