Question

【題目】如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線，為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交直線于，垂足為，連接，.

（1）求證：；

（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；

（3）若為中點(diǎn)，則當(dāng)________時(shí)，四邊形是正方形

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）四邊形是菱形.理由見(jiàn)解析（3）當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形.

【解析】

（1）先證出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；
（2）先證明出四邊形BECD是平行四邊形，再求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根據(jù)正方形的判定推出即可．

（1）證明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD；

（2）解：四邊形BECD是菱形，

理由是：∵D為AB中點(diǎn)，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，

∴CD=BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

∴四邊形BECD是菱形；

（3）當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由是：

∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D為BA中點(diǎn)，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴菱形BECD是正方形，

即當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．