Question

【題目】如圖，在中，，過點的直線，為邊上一點，過點作，交直線于，垂足為，連接，.

（1）求證：；

（2）當為中點時，四邊形是什么特殊四邊形？說明你的理由；

（3）若為中點，則當________時，四邊形是正方形

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）四邊形是菱形.理由見解析（3）當時，四邊形是正方形.

【解析】

（1）先證出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；
（2）先證明出四邊形BECD是平行四邊形，再求出CD=BD，根據菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根據正方形的判定推出即可．

（1）證明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD；

（2）解：四邊形BECD是菱形，

理由是：∵D為AB中點，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D為AB中點，

∴CD=BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

∴四邊形BECD是菱形；

（3）當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：

∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D為BA中點，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴菱形BECD是正方形，

即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．