Question

在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=1，AB=3，BC=4，M、N分別是底邊BC和腰CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終保持AM⊥MN、NP⊥BC．
（1）證明：△CNP為等腰直角三角形；
（2）設(shè)NP=x，當(dāng)△ABM≌△MPN時(shí)，求x的值；
（3）設(shè)四邊形ABPN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x取何值時(shí)，四邊形ABPN的面積最大，最大面積是多少．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D做BC的垂線，設(shè)垂足為F，則DF=AB=3，而FC=BC-BF=3，即△DFC是等腰直角三角形，所以∠C=45°，因?yàn)镹P⊥BC，所以△NPC是等腰直角三角形；
（2）當(dāng)△ABM≌△MPN時(shí)，則BM=NP=PC=x，AB=MP=3，又因?yàn)镸P=BC-（BM+PC）=4-2x，進(jìn)而求出x的值；
（3）由題意可知四邊形ABPN是直角梯形，根據(jù)梯形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，由此可指出x取何值時(shí)，四邊形ABPN的面積最大，最大面積是多少．
解答：解：（1）過D做BC的垂線，設(shè)垂足為F，
∵∠B=90°，AD∥BC，
∴∠BAD=∠B=∠DFB=90°，
∴四邊形ADFB是矩形，
∴AB=DF=3，AD=BF=1
∵BC=4，
∴FC=BC-BF=3，
∴DF=FC，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴NP⊥BC，
∴△NPC是等腰直角三角形；

（2）∵△ABM≌△MPN，
∴BM=NP=PC=x，AB=MP=3，
又∵M(jìn)P=BC-（BM+PC）=4-2x，
∴4-2x=3，得x=；

（3）∵AB⊥BC，NP⊥BC，
∴四邊形ABPN為直角梯形，
∴y=×（AB+PN）×BP=（3+x）×（4-x）
=（-x²+x+12）
=-x²+x+6，
∴當(dāng)x=時(shí)，y有最大值．
點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及直角梯形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，題目的綜合性很好，難度中等．