Question

如圖1，點B是線段AD上一點，△ABC和△BDE分別是等邊三角形，連接AE和CD．
（1）求證：AE=CD；
（2）如圖2，點P、Q分別是AE、CD的中點，試判斷△PBQ的形狀，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出△ABE≌△CBD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）先根據(jù)三角形的中位線定理求出△ABP≌△CBQ，再根據(jù)等邊三角形的判定定理解答即可．

解答：（1）證明：∵△ABC和△BDE分別是等邊三角形，
∴AB=CB，BE=BD，
∴∠ABC=∠DBE=60°，（1分）
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，（2分）
在△ABE和△CBD中，

AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），（3分）
∴AE=CD．（4分）

（2）解：△PBQ是等邊三角形．
證明如下：（1分）
由（1）證明可知：△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，（5分）
∵點P、Q分別是AE、CD的中點，
∴AP=

1

2

AE，CQ=

1

2

CD，
∴AP=CQ，（6分）
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB ∠EAB=∠DCB AP=CQ

，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），（7分）
∴∠PBA=∠QBC，PB=QB，（8分）
∴∠QBP=∠PBC+∠QBC=∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴△PBQ是等邊三角形．（9分）

點評：此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，難度適中．