如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上,連接AF交BD于點E,AF的延長線與BC的延長線交于點G,M,N分別是BG,DF的中點.
(1)求證:四邊形EMCN是矩形;
(2)若AD=2,S梯形ABCD=,求矩形EMCN的長和寬.
解:(1)證明:∵點A、F關于BD對稱,∴AD=DF,DE⊥AF。
又∵AD⊥DC,∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形!唷螪AF=∠EDF=45°。
∵AD∥BC,∴∠G=∠GAF=45°!唷鰾GE是等腰直角三角形。
∵M,N分別是BG,DF的中點,∴EM⊥BC,EN⊥CD。
又∵AD∥BC,AD⊥DC,∴BC⊥CD!嗨倪呅蜤MCN是矩形。
(2)由(1)可知,∠EDF=45°,BC⊥CD,∴△BCD是等腰直角三角形!郆C=CD,
∴S梯形ABCD=(AD+BC)•CD=(2+CD)•CD=,即CD2+2CD﹣15=0。
解得CD=3,CD=﹣5(舍去)。
∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形,∴DF=AD=2。
∵N是DF的中點,∴EN=DN=DF=×2=1。
∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2。
∴矩形EMCN的長和寬分別為2,1。
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)軸對稱的性質可得AD=DF,DE⊥AF,判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質求出∠DAF=∠EDF=45°,根據(jù)兩直線平行,內錯角相等求出∠BCE=45°,然后判斷出△BGE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質可得EM⊥BC,EN⊥CD,再根據(jù)矩形的判定證明即可。
(2)判斷出△BCD是等腰直角三角形,然后根據(jù)梯形的面積求出CD的長,再根據(jù)等腰直角三角形的性質求出DN,即可得解。
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