Question

已知，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCO在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（t，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過A作直線MC的垂線交y軸于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求直線MC的解析式；
（2）設(shè)△AMN的面積為S，當(dāng)S=3時(shí)，求t的值；
（3）取點(diǎn)P（1，y），如果存在以M、N、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，當(dāng)t＜0時(shí)，甲同學(xué)說：y與t應(yīng)同時(shí)滿足方程t²-yt-5=0和y²-2t²-10y+26=0；乙同學(xué)說：y與t應(yīng)同時(shí)滿足方程t²-yt-5=0和y²+8t-24=0，你認(rèn)為誰的說法正確，并說明理由．再直接寫出t＞0時(shí)滿足題意的一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)邊長(zhǎng)為5的正方形ABCO在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，和點(diǎn)M（t，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別求出k和b的值即可．
（2）分別根據(jù)t＞0，-5＜t＜0，t＜-5時(shí)，用t表示出△AMN的面積，解一元二次方程即可求出；
（3）作PH⊥y軸，則△PHN∽△MOC，由Rt△PCH得1+（y-5）²=2t²，可證甲正確；
由直線x=1與x軸交于E，由Rt△PME得，（5-t）²=y²+（1-t）²，可證乙正確．

解答：解：（1）∵邊長(zhǎng)為5的正方形ABCO在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，
∴將x=0，y=5代入y=kx+b，解得b=5
∵點(diǎn)M（t，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過A作直線MC的垂線交y軸于點(diǎn)N，
∴將x=2，y=0代入y=kx+b，解得k=-

5

2

．
∴當(dāng)t=2時(shí)，直線MC的解析式為：y=-

5

2

x+5；

（2）CM斜率k=-

5

t

，則AN斜率

t

5

設(shè)AD的解析式為：y=

t

5

x+b，
∵過A（-5，0），
∴b=t，
∴N（0，t）
∴S=

1

2

t²+

5

2

t（t＞0）t=1，
S=-

1

2

t²-

5

2

t（-5＜t＜0）t=-2，t=-3，
S=

1

2

t²+

5

2

t（t＜-5）t=-6都正確；

（3）作PH⊥y軸，如圖1：
∵四邊形NPMC是等腰梯形，
∴∠PNH=∠MCO，
∵∠PHN=∠MOC=90°，
∴△PHN∽△MOC，
得

-t

5

=

1

y-t

，
所以t²-yt-5=0，滿足PN∥CM，
由Rt△PCH得1+（y-5）²=2t²，
所以y²-2t²-10y+26=0，滿足PC=MN，故甲正確；
直線x=1與x軸交于E，由Rt△PME得，
（5-t）²=y²+（1-t）²
所以y²+8t-24=0，滿足PM=CN，故乙正確；
P（1，6）．

點(diǎn)評(píng)：此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，通過此類題目的練習(xí)，利用學(xué)生系統(tǒng)的掌握所學(xué)知識(shí)，是一道很典型的題目．