Question

已知關于x的方程x²-（q+p+1）x+p=0（q≥0）的兩個實數根為α、β，且α≤β．
（1）試用含有α、β的代數式表示p、q；
（2）求證：α≤1≤β；
（3）若以α、β為坐標的點M（α、β）在△ABC的三條邊上運動，且△ABC頂點的坐標分別為A（1，2），B（，1），C（1，1），問是否存在點M，使p+q=？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵α、β為方程x²-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的兩個實數根，
∴判別式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，
且α+β=p+q+1，αβ=p，
于是p=αβ，
q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0），
又α≤β，
∴a≤1≤β；
（3）若使p+q=成立，只需α+β=p+q+1=，
①當點M（α，β）在BC邊上運動時，
由B（，1），C（1，1），
得≤α≤1，β=1，
而α=-β=-1=＞1，
故在BC邊上存在滿足條件的點，其坐標為（，1）所以不符合題意舍去；
即在BC邊上不存在滿足條件的點
②當點M（α，β）在AC邊上運動時，
由A（1，2），C（1，1），
得a=1，1≤β≤2，
此時β=-α=-1=，
又因為1＜＜2，
故在AC邊上存在滿足條件的點，其坐標為（1，）；
③當點M（α，β）在AB邊上運動時，
由A（1，2），B（，1），
得≤α≤1，1≤β≤2，
由平面幾何知識得，
于是β=2α，
由解得α=，β=，
又因為＜＜1，1＜＜2，
故在AB邊上存在滿足條件的點，其坐標為（，）．
綜上所述，當點M（α，β）在△ABC的三條邊上運動時，存在點（1，）和點（，），使p+q=成立．
分析：（1）因為原方程有兩個相等的實數根，故判別式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，且α+β=p+q+1，αβ=p，于是p=αβ，q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）因為α≤β，故只需求（1-a）（1-β）≤0即可；
（3）先根據條件確定動點所在的邊，再確定點的坐標．
點評：此題較復雜，將根與系數的關系、根的判別式與動點問題相結合，體現了運動變化的觀點．由于情況較多，需要分類討論．