Question

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，將其沿對角線BD折疊，頂點(diǎn)C的對應(yīng)位置為G（如圖1），BG交AD于E；再折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)A處，折痕MN交AD于F，交DG于M，交BD于N，展開后得圖2，則折痕MN的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：依題意可知△DFM為直角三角形，且DF=AD=2，由折疊的性質(zhì)可證△ABE≌△GDE，在Rt△ABE中，由勾股定理求BE，利用△ABE∽△FDM，可得對應(yīng)邊的比相等可求MF，繼而求出MN的長．
解答：解：如圖，由已知可得MN垂直平分AD，DF=AD=2，F(xiàn)N=AB=，
∵AB=CD=GD，∠A=∠G=90°，∠AEB=∠GED，
∴△ABE≌△GDE，
設(shè)AE=x，則BE=ED=4-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得
AB²+AE²=BE²，即3²+x²=（4-x）²，
解得x=，
易證△ABE∽△FDM，
∴，即 =，
解得MF=．
∴MN=NF+FM==．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是由性質(zhì)將有關(guān)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化．