Question

（2004•廣東）如圖，在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點(diǎn)，P是斜邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為BC上的一點(diǎn)，且PB=PD，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：PE=BO；
（2）設(shè)AC=2a，AP=x，四邊形PBDE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件可證明Rt△BOP≌Rt△PDE，所以，BO=PE；
（2）PE=AO=BO=OC=a，AP=x，EC=DE=OP=AO-AP=a-x，BC=AB=a，作EF⊥CD，EF=EC•，所以可求得y=S_△BPO+S_△BOC-
S_△DOE=a²--，（0≤x≤a）．
解答：（1）證明：∠PDB=∠PBD=45°+∠PBO=45°+∠DPC（∠PDB外角）
∴∠PBO=∠DPC．
又∵BP=DP
∴Rt△BOP≌Rt△PDE
∴BO=PE；

（2）解：PE=AO=BO=OC=a，AP=x
EC=DE=OP=AO-AP=a-x
BC=AB=a
作EF⊥CD，EF=EC•
y=S_△BPO+S_△BOC-S_△DCE
=+-=a²--．（0≤x≤a）．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，利用全等三角形判定和性質(zhì)求出相等的線段再利用線段的和差關(guān)系表示出所求圖形的邊長(zhǎng)及相關(guān)線段，利用面積公式求面積是解題的關(guān)鍵．