Question

某校九年級(jí)學(xué)生開展了豐富多彩的數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)活動(dòng)．在探討《美麗的正六邊形》課題學(xué)習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)正六邊形可以分成八個(gè)全等的直角梯形（如圖1），也可以分成八個(gè)全等的等腰梯形（如圖2），則直角梯形的最短邊與等腰梯形的最短邊的比值是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意作出輔助線，如圖1所示，作AD⊥BF，GE⊥BF；設(shè)AB=a，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值可求出BD的長，進(jìn)而可求出AH的長；
如圖2所示，作AD⊥BD，EF⊥AH；設(shè)AB=a，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值可求出AD的長，進(jìn)而可求出EF的長及AE的長．即可求出其比值．
解答：解：如圖1所示，作AD⊥BF，GE⊥BF，設(shè)AB=a；
∵此六邊形是正六邊形，
∴∠ABC==120°，∠ABD==60°；
∵AD⊥BF，
∴BD=，正六邊形的對(duì)角線長為2a，
∴AH==；
如圖2所示，作AD⊥BD，EF⊥AE，設(shè)AB=a，由1可知，BD=，AD=，則EF=AD=，
在△AEF中，∠EAF==60°，∠AFE=30°，
∴AE=EF•tan30°=×=，
∴EH=GF=a-×2=．
∴直角梯形的最短邊與等腰梯形的最短邊的比值是AH：EH=：=．
點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再由正六邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可，此題有一定的綜合性，但難度適中．