Question

已知：如圖⊙O是Rt△CDE的外接圓，BC⊥CE，BD和CE的延長線交于點A，且OB∥ED．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的半徑r．

Answer 1

（1）證明：連接OD．
∵OB∥ED，
∴∠CFO=∠CDE=90°．
又∵CD是⊙O的弦，
∴OB垂直平分CD．
∴∠BCF=∠BDF．
又∵∠2=∠1，
∴∠1+∠BDF=∠2+∠BCF=∠BCO=90°．
∴∠BDO=90°．
∴AD是⊙O的切線．

（2）解：設(shè)AE=k．
∵BC，BD是⊙O的切線，
∴BD=BC=6．
∵AD=4，
∴AC=8．
又∵AD是⊙O的切線，
∴AD²=AE•AC．
∴16=8k，k=2．
∴2r=8-2=6，
∴r=3．
∴該圓的半徑是3．
分析：（1）要證明AD是圓的切線，只需連接OD，證明OD⊥AB；
（2）根據(jù)切線長定理和勾股定理計算得到AC的長，再進一步根據(jù)切割線定理進行計算．
點評：此題綜合運用了切線長定理、切割線定理、圓周角定理的推論、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．