Question

如圖，已知四邊形ABCD的外接圓⊙O的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

解：∵AE=EC，AB=AE，
∴AB²=2AE²=AE•AC，
∴AB：AC=AE：AB，
又∠EAB=∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
從而AB=AD．
連接AO，交BD于H，連接OB，
∵AB=AD，
∴AO⊥BD，
∴BH=HD，
BO=2，BH=，
則BH=HD=．
∴OH===1，AH=OA-OH=2-1=1．
∴S_△ABD=BD•AH=×2×1=，
∵E是AC的中點，∴S_△ABE=S_△BCE，
S_△ADE=S_△CDE，∴S_△ABD=S_△BCD，
∴S_{四邊形ABCD}=2S_△ABD=2．
分析：先求△ABD的面積，在求證△ABD與△BCD的面積相等，根據四邊形ABCD面積為△ABD和△BCD面積之和求解．
點評：本題考查了勾股定理的靈活應用，考查了三角形面積計算方法，本題中求證△ABD面積和求證△BCD面積與△ABD面積相等是解題的關鍵．