(2012•同安區(qū)一模)已知:關于x的一元二次方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0,
(1)若m>0,求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若12<m<40的整數(shù),且方程有兩個整數(shù)根,求m的值.
【答案】分析:(1)利用根的判別式來證明,△=[-2(2m-3)]2-4(4m2-14m+8)=8m+4,通過證明8m+4是正數(shù)來得到△>0;
(2)利用求根公式求出x的值,用含m的代數(shù)式表示,為x=(2m-3)±,若12<m<40的整數(shù),且方程有兩個整數(shù)根,那么2m+1必須是25--81之間的完全平方數(shù),從而求出m的值.
解答:證明:(1)△=b2-4ac=[-2(2m-3)]2-4(4m2-14m+8)=8m+4,
∵m>0,
∴8m+4>0.
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)解:由求根公式得:
∵方程有兩個整數(shù)根,
∴必須使為整數(shù)且m為整數(shù).
又∵12<m<40,
∴25<2m+1<81.
∴5<<9.
,∴m=
,∴m=24
,∴m=
∴m=24.
點評:本題考查了一元二次方程根的判別式的應用和利用求根公式解方程,要熟悉求根公式與根的判別式之間的關系.解題關鍵是把△轉化成完全平方式與一個正數(shù)的和的形式,才能判斷出它的正負性.
在與一元二次方程有關的求值問題中,必須滿足下列條件:
①二次項系數(shù)不為零;
②在有兩個不相等的實數(shù)根的情況下必須滿足△=b2-4ac>0.
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1
3
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