Question

【題目】如圖，已知直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M，使|AM﹣MC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)△PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x+1；（2）M（，﹣）．（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直線的解析式求得點(diǎn)A（0，1），那么把A，B坐標(biāo)代入y=x2+bx+c即可求得函數(shù)解析式．

（2）易得|AM﹣MC|的值最大，應(yīng)找到C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB交對(duì)稱(chēng)軸的一點(diǎn)就是M．應(yīng)讓過(guò)AB的直線解析式和對(duì)稱(chēng)軸的解析式聯(lián)立即可求得點(diǎn)M坐標(biāo)．

（3）讓直線解析式與拋物線的解析式結(jié)合即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．△PAE是直角三角形，應(yīng)分點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)，點(diǎn)E是直角頂點(diǎn)三種情況探討．

試題解析：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入y=x2+bx+c

得，

解得：．

∴物線的解折式為y=x2﹣x+1；

（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=，B、C關(guān)于x=對(duì)稱(chēng)，

∴MC=MB，

要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，

由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)|AM﹣MB|的值最大．

知直線AB的解析式為y=﹣x+1

∴，

解得：．

則M（，﹣）．

（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為m2﹣m+1，

即E點(diǎn)的坐標(biāo)（m，m2﹣m+1），…

又∵點(diǎn)E在直線y=x+1上，

∴m2﹣m+1=m+1

解得m1=0（舍去），m2=4，

∴E的坐標(biāo)為（4，3）．

（Ⅰ）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，

過(guò)A作AP1⊥DE交x軸于P1點(diǎn)，設(shè)P1（a，0）易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），

由Rt△AOD∽R(shí)t△P1OA得

,即，

∴a=，a=-（舍去），

∴P1（，0）．

（Ⅱ）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)E作EP2⊥DE交x軸于P2點(diǎn)，

由Rt△AOD∽R(shí)t△P2ED得，

即：，

∴EP2=

∴DP2=

∴a=，

∴P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．

（Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)E作EF⊥x軸于F，設(shè)P3（b、0），

由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽R(shí)t△PFE，

由得：，

解得b1=3，b2=1，

∴此時(shí)的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）．