Question

某商場(chǎng)向顧客發(fā)放9999張購(gòu)物券，每張購(gòu)物券上印有一個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼，從0001到9999號(hào)，如果號(hào)碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱(chēng)這張購(gòu)物券為“幸運(yùn)券”．證明：這個(gè)商場(chǎng)所發(fā)放的購(gòu)物券中，所有的幸運(yùn)券的號(hào)碼之和能被101整除．

Answer 1

【答案】分析：由已知，顯然，號(hào)碼為9999是幸運(yùn)券，除這張外，如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券，那么號(hào)m=9999-n也是幸運(yùn)券，由于9是奇數(shù)，所以m≠n．由于m+n=9999相加時(shí)不出現(xiàn)進(jìn)位，這就是說(shuō)，除去號(hào)碼9999這張幸運(yùn)券外，其余所有幸運(yùn)券可全部?jī)蓛膳鋵?duì)，而每一對(duì)兩個(gè)號(hào)碼之和均為9999，即所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和是9999的整倍數(shù)，而101|9999，故知所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和也能被101整除．
解答：解：“如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券，那么號(hào)m=9999-n也是幸運(yùn)券”，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，請(qǐng)你考慮這句話(huà)合理性．
若六位數(shù)是99的倍數(shù)，求整數(shù)a、b的值．
∵能被9整除，
∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除，得3+a+b=9k_l（k₁為整數(shù)）．①
又∵能被11整除，
∴8-1+a-b+9-3=13+a-b能被11整除，得2+a-b=11k₂（k₂為整數(shù)）．②
∵0≤a，b≤9，
∴0≤a+b≤18，-9≤a-b≤9，
由①、②兩式，得3≤＜9k₁≤21，-7≤11k₂≤11，
知k₁=1，或k₁=2；k₂=0，或，而3+a+b與2+a-b的奇偶性相異，而k₁=2，k₂=1不符合題意．
故把k₁=1，k₂=0代入①、②兩式，解方程組可求得a=2，b=4．代入所設(shè)6位數(shù)．即得到812493．
所以，這個(gè)商場(chǎng)所發(fā)放的購(gòu)物券中，所有的幸運(yùn)券的號(hào)碼之和能被101整除．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了學(xué)生辨析問(wèn)題、運(yùn)用數(shù)的整除性解決問(wèn)題的能力．