Question

如圖，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE、GC．
（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）將正方形DEFG繞點D按順時針旋轉(zhuǎn)，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC．你認為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）將正方形DEFG繞點D按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使點E落在AB上，請你畫出圖形，并判斷（2）中的結(jié)論是否還成立？（回答“成立”或“不成立”）

Answer 1

（1）AE⊥GC．證明：延長GC交AE于點H，
∵在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，
∴AE⊥GC；

（2）成立．
證明：延長AE和GC相交于點H，
∵在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，
∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4，
又∵∠5+∠6=90°，
∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC；

（3）如圖，結(jié)論AE⊥GC成立．
同理可證△ADE≌△CDG，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠DCG=90°，
∴GC⊥CD，
∵AB∥CD，點E在AB上，
∴AE⊥GC．
分析：（1）延長GC交AE于點H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2，再求出∠1+∠3=90°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算求出∠AHG=90°，根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）延長AE和GC相交于點H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠5=∠4，再根據(jù)平角等于180°求出∠6=∠7，然后求出∠EHC=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可；
（3）結(jié)論仍然成立．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直的定義，熟記性質(zhì)并確定出全等的三角形是解題的關(guān)鍵，利用阿拉伯?dāng)?shù)字表示角更形象直觀．