Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角三角形AOB的頂點(diǎn)A、B分別落在坐標(biāo)軸上．O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，8)．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)．沿OA向終點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向終點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t＞0)．

(1)當(dāng)t＝3秒時(shí)．直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過(guò)O、A、N三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)在此運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△MNA是一個(gè)等腰三角形？

Answer 1

分析　(1)根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得到OA＝6、OB＝8、AB＝10；當(dāng)t＝3時(shí)，AN＝5，即N是AB的中點(diǎn)，由此得到點(diǎn)N的坐標(biāo)．然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

(2)△MNA中，過(guò)N作MA邊上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表達(dá)式，而AM＝OA－OM，由三角形的面積公式可得到關(guān)于S_△MNA、t的函數(shù)關(guān)系式，利用所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△MNA的最大面積．

(3)首先求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出AM、MN、AN三邊的長(zhǎng)；由于△MNA的腰和底不確定，若該三角形是等腰三角形，可分三種情況討論：①MN＝NA、②MN＝MA、③NA＝MA；直接根據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可．

解　(1)由題意，A(6，0)、B(0，8)，

則OA＝6，OB＝8，AB＝10；

當(dāng)t＝3時(shí)，AN＝t＝5＝AB，

即N是線段AB的中點(diǎn)；∴N(3，4)．

設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax(x－6)，則：

4＝3a(3－6)，a＝－；

∴拋物線的解析式：y＝－x(x－6)＝－x²＋x.

(2)過(guò)點(diǎn)N作NC⊥OA于C；

由題意，AN＝t，AM＝OA－OM＝6－t，

NC＝NA·sin∠BAO＝t·＝t；

則：S_△MNA＝AM·NC＝×(6－t)×t＝－(t－3)²＋6.

∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6.

(3)Rt△NCA中，AN＝t，

NC＝AN·sin∠BAO＝t，

AC＝AN·cos∠BAO＝t；

∴OC＝OA－AC＝6－t，∴N.

∴NM＝ ＝ ；

又：AM＝6－t，AN＝ t(0＜t＜6)；

①當(dāng)MN＝AN時(shí)，＝t，

即：t²－8t＋12＝0，t₁＝2，t₂＝6(舍去)；

②當(dāng)MN＝MA時(shí)， ＝6－t，

即：t²－12t＝0，t₁＝0(舍去)，t₂＝；

③當(dāng)AM＝AN時(shí)，6－t＝t，即t＝；

綜上，當(dāng)t的值取2或或時(shí)，

△MAN是等腰三角形．