Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，PQ∥AB，點P在AC上（與點A、C不重合），點Q在BC上．試問：在AB上是否存在點M，使△PQM為等腰直角三角形？若存在，求PQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，
設(shè)PC=x，
∵PQ∥AB，
∴=，
∵PC=x，BC=10，AC=8，代入可求出，
∵△PQM為等腰直角三角形，
∴討論哪個角為直角如下：
（1）當(dāng)∠MPQ為直角時，則可得，
∴，
在△ABC中，而在△PMA中，
∴得，從而．（若∠MQP為直角類似）

（2）當(dāng)∠PMQ為直角時，則可得PM=MQ=，
過P作PN⊥AB于N，
易得，
同（1）得
∴．
分析：由于PQ的位置是變化的，故可以使△PQM為等腰直角三角形，設(shè)PC=x，當(dāng)△PQM為等腰直角三角形時，有三種情況：
1、當(dāng)∠MPQ為直角時，可得到PM=PQ=x，而在△ABC中，而在△PMA中，建立方程可求得x的值，從而求得PQ的值．
2、若∠MQP為直角，與1類似；
3、當(dāng)∠PMQ為直角時，則可得PQ=MQ=，過P作PN⊥AB于N，易得，即可求得PQ的值．
點評：本題利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，正弦的概念求解．