Question

（2006•咸寧）如圖①，在△ABC中，AB=AC，O為AB的中點．以O為圓心，OB為半徑的圓交BC于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E，我們可以證得DE是⊙O的切線．
（1）若點O沿AB向點B移動，以O為圓心，OB為半徑的圓仍交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E，AB=AC不變（如圖②），那么DE與⊙O有什么位置關系，請寫出你的結論并證明；
（2）在（1）的條件下，若⊙O與AC相切于點F，交AB于點G（如圖③）．已知⊙O的半徑長為3，CE=1，求AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，通過證明OD∥AC，利用平行的性質，得出OD⊥DE，即可判定DE與⊙O相切；
（2）連接OD，OF．設AF=x，利用方程的思想和勾股定理，解出x=4，即AF的長度為4．
解答：解：（1）DE與⊙O相切．理由如下：
連接OD．
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB．
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切．

（2）解法（1）：連接OD，OF．
∵DE，AF是⊙O的切線，
∴OF⊥AC，OD⊥DE．
又∵DE⊥AC，
∴四邊形ODEF為矩形．
∴OD=EF．
設AF=x，則
AB=AC=x+3+1=x+4，AG=AB-BG=x+4-6=x-2．
∵AF與⊙O相切，
∴AF²=AG•AB．
即x²=（x-2）（x+4），
解得x=4．∴AF的長度為4．

解法（2）：連接OD，OF．
∵DE，AF是⊙O的切線，
∴OF⊥AC，OD⊥DE．
又∵DE⊥AC，所以四邊形ODEF為矩形，
∴OD=EF．
設AF=x，則AB=AC=x+3+1=x+4，
AO=AB-OB=x+4-3=x+1，
∵OF⊥AC，∴AO²=OF²+AF²
即（x+1）²=9+x²，
解得x=4．
故AF的長度為4．
點評：主要考查了圓的切線的判定方法、和構造直角三角形利用勾股定理作為相等關系解方程的思想．