如圖,AC為⊙O的直徑,AC=4,B、D分別在AC兩側(cè)的圓上,∠BAD=60°,BD與AC的交點(diǎn)為E.
(1)求點(diǎn)O到BD的距離及∠OBD的度數(shù);
(2)若DE=2BE,求cos∠OED的值和CD的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)作OF⊥BD于點(diǎn)F,連接OD,根據(jù)圓周角定理可得出∠DOB=120°,再由OB=OD=AC=2,可得出∠OBD的度數(shù),也可得出OF的長(zhǎng)度;
(2)設(shè)BE=2x,則可表示出DF、EF的長(zhǎng)度,從而可解出x的值,在RT△OEF中,利用三角函數(shù)值的知識(shí)可求出∠OED的度數(shù),也可得出cos∠OED的值,判斷出DO⊥AC,然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出CD的長(zhǎng)度.
解答:解:(1)作OF⊥BD于點(diǎn)F,連接OD,
∵∠BAD=60°,
∴∠BOD=2∠BAD=120°,
又∵OB=OD,
∴∠OBD=30°,
∵AC為⊙O的直徑,AC=4,
∴OB=OD=2.
在Rt△BOF中,∵∠OFB=90°,OB=2,∠OBF=30°,
∴OF=OB•sin∠OBF=2sin30°=1,
即點(diǎn)O到BD的距離等于1.

(2)∵OB=OD,OF⊥BD于點(diǎn)F,
∴BF=DF.
由DE=2BE,設(shè)BE=2x,則DE=4x,BD=6x,EF=x,BF=3x.
∵BF=OB•cos30°=,
,EF=
在Rt△OEF中,∠OFE=90°,∵tan∠OED==,
∴∠OED=60°,cos∠OED=,
∴∠BOE=∠OED-∠OBD=30°,
∴∠DOC=∠DOB-∠BOE=90°,
∴∠C=45°.
∴CD=OC=2
點(diǎn)評(píng):此題屬于圓的綜合題,涉及了等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)值及勾股定理的知識(shí),解答此類(lèi)綜合性題目,要求我們熟練掌握一些小知識(shí)點(diǎn),做到將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通,難度較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=4
2
,另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底邊DE與BC重合,兩腰分別落在AB,AC上,且G,F(xiàn)分別是AB,AC的中點(diǎn).
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(1)求等腰梯形DEFG的面積;
(2)操作:固定△ABC,將等腰梯形DEFG以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向向右運(yùn)動(dòng),直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,運(yùn)動(dòng)后的等腰梯形為DEF′G′(如圖2).
探究1:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,四邊形BDG′G能否是菱形?若能,請(qǐng)求出此時(shí)x的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
探究2:設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

23、(1)如圖1,已知直線(xiàn)m∥n,A,B為直線(xiàn)n上的兩點(diǎn),C,D為直線(xiàn)m上的兩點(diǎn).
①請(qǐng)你判斷△ABC與△ABD的面積具有怎樣的關(guān)系?
②若點(diǎn)D在直線(xiàn)m上可以任意移動(dòng),△ABD的面積是否發(fā)生變化?并說(shuō)明你的理由.
(2)如圖2,已知:在四邊形ABCD中,連接AC,過(guò)點(diǎn)D作EF∥AC,P為EF上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)D不重合).請(qǐng)你說(shuō)明四邊形ABCD的面積與四邊形ABCP的面積相等.
(3)如圖3是一塊五邊形花壇的示意圖.為了使其更規(guī)整一些,園林管理人員準(zhǔn)備將其修整為四邊形,根據(jù)花壇周邊的情況,計(jì)劃在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)F,沿EF取直,構(gòu)成新的四邊形ABFE,并使得四邊形ABFE的面積與五邊形ABCDE的面積相等.請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出符合要求的四邊形ABFE,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)如圖A、B兩個(gè)化工廠(chǎng)位于一段直線(xiàn)形河堤的同側(cè),A工廠(chǎng)至河堤的距離AC為1km,B工廠(chǎng)到河堤的距離BD為2km,經(jīng)測(cè)量河堤上C、D兩地間的距離為6km.現(xiàn)準(zhǔn)備在河堤邊修建一個(gè)污水處理廠(chǎng),為使A、B兩廠(chǎng)到污水處理廠(chǎng)的排污管道最短,污水處理廠(chǎng)應(yīng)建在距C地多遠(yuǎn)的地方?
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(2)通過(guò)以上解答,充分展開(kāi)聯(lián)想,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造圖形,嘗試解決下面問(wèn)題:若y=
x2+1
+
(9-x)2+4
,當(dāng)x為何值時(shí),y的值最小,并求出這個(gè)最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

探索函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)
的圖象和性質(zhì).
已知函數(shù)y=x(x>0)和y=
1
x
(x>0)
的圖象如圖所示,若P為函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)
圖象上的點(diǎn),過(guò)P作PC垂直于x軸且與直線(xiàn)、雙曲線(xiàn)、x軸分別交于點(diǎn)A、B、C,則PC=x+
1
x
=AC+BC,從而“點(diǎn)P可以看作點(diǎn)A的沿豎直方向向上平移BC個(gè)長(zhǎng)度單位(PA=BC)而得到”.
(1)根據(jù)以上結(jié)論,請(qǐng)?jiān)谙聢D中作出函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)圖象上的一些點(diǎn),并畫(huà)出該函數(shù)的圖象.
(2)觀(guān)察圖象,寫(xiě)出函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)兩條不同類(lèi)型的性質(zhì).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖(1),在水平地面點(diǎn)A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球,網(wǎng)球飛行路線(xiàn)是一條拋物線(xiàn),在地面上落點(diǎn)為B.有人在直線(xiàn)AB上點(diǎn)C(靠點(diǎn)B一側(cè))豎直向上擺放無(wú)蓋的圓柱形桶,試圖讓網(wǎng)球落入桶內(nèi).已知AB=4米,AC=3米,網(wǎng)球飛行最大高度OM=5米,圓柱形桶的直徑為0.5米,高為0.3米(網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)).
(1)在如圖(2)建立的坐標(biāo)系下,求網(wǎng)球飛行路線(xiàn)的拋物線(xiàn)解析式;
(2)若豎直擺放5個(gè)圓柱形桶時(shí),則網(wǎng)球能落入桶內(nèi)嗎?說(shuō)明理由;
(3)若要使網(wǎng)球能落入桶內(nèi),求豎直擺放的圓柱形桶的個(gè)數(shù).

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