Question

已知，如圖①，∠MON=60°，點(diǎn)A、B為射線(xiàn)OM、ON上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B不與點(diǎn)O重合），且AB=，在∠MON的內(nèi)部、△AOB的外部有一點(diǎn)P，且AP=BP，∠APB=120°.

 

（1）求AP的長(zhǎng)；

（2）求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線(xiàn)上；

（3）如圖②，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點(diǎn)，連接CD，DE，EF，F(xiàn)C，OP.

①當(dāng)AB⊥OP時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形CDEF的周長(zhǎng)；

②若四邊形CDEF的周長(zhǎng)用t表示，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）4；（2）過(guò)點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S， PT⊥ON于點(diǎn)T，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得∠SPT的度數(shù)，即可得到∠APS=∠BPT，再結(jié)合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可證得△APS≌△BPT，從而證得結(jié)論；（3）①8+4；②4+4＜t≤8+4

【解析】

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得AQ的長(zhǎng)，∠APQ的度數(shù)，在Rt△APQ中，根據(jù)∠APQ的正弦函數(shù)即可求得結(jié)果；

（2）過(guò)點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S， PT⊥ON于點(diǎn)T，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得∠SPT的度數(shù)，即可得到∠APS=∠BPT，再結(jié)合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可證得△APS≌△BPT，從而證得結(jié)論；

（3）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理即可求得結(jié)果.

（1）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q 

∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4，

∴AQ=AB=×4=2，∠APQ=∠APB=×120°=60°

在Rt△APQ中，sin∠APQ=

∴AP=＝4

（2）過(guò)點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S， PT⊥ON于點(diǎn)T

∴∠OSP=∠OTP=90°

在四邊形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，

∴∠APB=∠SPT=120°

∴∠APS=∠BPT

又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，

∴△APS≌△BPT

∴PS=PT

∴點(diǎn)P在∠MON的平分線(xiàn)上；

（3）①8+4 

②4+4＜t≤8+4.

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)，正弦函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意及圖形，正確作出輔助線(xiàn)，同時(shí)熟記三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半.