Question

如圖1，已知點P是線段AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作等邊△APC和等邊△PBD．連接AD、BC，相交于點Q，AD交CP于點E，BC交PD于點F
（1）圖1中有

3

對全等三角形；（不必證明）
（2）圖1中設(shè)∠AQC=α，那么α=

60

°；（不必證明）
（3）如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），此時α的大小是否發(fā)生變化？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的判定得出即可；
（2）首先證得△APD≌△CPB，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（3）旋轉(zhuǎn)的過程中，（2）中得兩個三角形的全等關(guān)系不變，因而角度不會變化．

解答：解：（1）△APD≌△CPB，△EPD≌△FPB，△APE≌△CPF，一共有3對．
故答案為：3；

（2）∵△APC是等邊三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD和△CPB中，

AP=PC ∠APD=∠CPB PD=PB

，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°；
故答案為：60；

（3）此時α的大小不會發(fā)生改變，始終等于60°．
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD和△CPB中，

AP=PC ∠APD=∠CPB PD=PB

，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴α=∠AQC=180°-120°=60°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明兩個三角形全等是解題的關(guān)鍵．