Question

閱讀下列材料：

我們知道，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象是一條直線(xiàn)，而y＝kx＋b經(jīng)過(guò)恒等變形可化為直線(xiàn)的另一種表達(dá)形式：Ax＋Bx＋C＝0（A、B、C是常數(shù)，且A、B不同時(shí)為0）．如圖1，點(diǎn)P（m，n）到直線(xiàn)l：Ax＋Bx＋C＝0的距離（d）計(jì)算公式是：d＝ ．

例：求點(diǎn)P（1，2）到直線(xiàn)y＝ x－的距離d時(shí)，先將y＝ x－化為5x－12y－2＝0，再由上述距離公式求得d＝ ＝ ．

解答下列問(wèn)題：

如圖2，已知直線(xiàn)y＝－x－4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y＝x²－4x＋5上的一點(diǎn)M（3，2）．

（1）求點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離．

（2）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1） 6 （2）存在，P（，），△PAB面積的最小值為×5×＝

【解析】

試題分析：（1）將y＝－ x－4化為4x＋3y＋12＝0，由上述距離公式得：

d＝ ＝6

∴點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離為6         

（2）存在

設(shè)P（x，x²－4x＋5），則點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為：

d＝

由圖象知，點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離最小時(shí)x＞0，x²－4x＋5＞0

∴d＝＝ ＝(x－ )²＋           

∴當(dāng)x＝ 時(shí)，d最小，為          

當(dāng)x＝時(shí)，x²－4x＋5＝()²－4×＋5＝ ，∴P（，）          

在y＝－ x－4中，令x＝0，則y＝－4，∴B（0，－4）

令y＝0，則xy＝－3�！�A（－3，0）

∴AB＝＝5              

∴△PAB面積的最小值為×5×＝       

考點(diǎn)：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)，掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的性質(zhì)，會(huì)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離